БОЛЬЦМАНА СТАТИСТИКА
БОЛЬЦМАНА СТАТИСТИКА, статистический метод описания физических свойств систем, содержащих большое число невзаимодействующих частиц, движущихся по законам классической механики (т. е. свойств классического идеального газа). Создана австрийским физиком Л. Больцманом в 1868-71. В статистике Больцмана рассматривается распределение частиц идеального газа по импульсам и координатам, но не в фазовом пространстве всех частиц, как в статистической механике Гиббса (см. Гиббса распределения), а в фазовом пространстве координат и импульсов одной частицы (для газа одинаковых невзаимодействующих частиц функцицию распределения можно представить в виде произведения «одночастичных» функций распределения). Согласно статистике Больцмана, фазовое пространство разбивается на множество малых ячеек объёмом Gi, причём каждая ячейка должна содержать достаточно большое число частиц Ni (с энергией ξi). Фиксированное распределение частиц по этим ячейкам определяет микроскопическое состояние газа. Макроскопическое состояние газа полностью характеризуется набором чисел Ni. Значение Gi соответствует максимально возможному числу микроскопических состояний в ячейке i. Для подсчёта числа возможных способов осуществления данного макроскопического состояния объём ячейки фазового пространства должен быть фиксирован (в этом случае совокупность микроскопических состояний - счётное множество). До создания квантовой механики единица фазового объёма выбиралась произвольно. С открытием квантовомеханического соотношения неопределённостей выяснилось, что единица объёма фазового пространства, имеющего шесть измерений (три координаты и три проекции импульса частицы), нельзя выбрать меньше h3. Таким образом, современная статистика Больцмана использует принципы квантовой механики, и получаемое на основе статистика Больцмана распределение частиц представляет собой частный случай квантовых статистик (когда из-за малой плотности газа можно пренебречь квантовыми эффектами). В статистике Больцмана предполагается, что частицы распределяются по различным состояниям независимо друг от друга и что они различимы между собой. Число различных возможных микроскопических состояний, соответствующих заданному макроскопическому состоянию газа, называют статистическим весом состояния. Статистический вес определяется числом различных способов, которыми можно распределить N=SiNi частиц по ячейкам размером Gi по ni частиц в каждой ячейке, и равен:
WB=N!ПiGiNi/Ni!. (1)
Здесь перестановки частиц в пределах каждой ячейки рассматриваются как различные состояния. При подсчёте статистического веса W надо, однако, учитывать, что перестановки тождественных частиц не меняют состояния, и поэтому Wb следует уменьшить в N! раз, так что
W=Пi(GiNi/Ni!). (2)
Это правило подсчёта состояний, основанное на квантовомеханическом принципе неразличимости тождественных чатиц, лежит в основе современной статистики Больцмана. Только при таком определении статистического веса возможно определить энтропию S
(в ед. k) как величину, пропорциональную логарифму статистического веса:
S~lnW. (3)
Формула (3) была получена американским физиком Дж. Гиббсом ещё до создания квантовой механики. Он показал, что присутствие множителя N! в (1) приводит к появлению в выражении для энтропии (3) слагаемого NInN, не имеющего физического смысла, т. к. энтропия должна быть пропорциональна N (аддитивна). Все микроскопические состояния, соответствующие данному макроскопическому состоянию, равновероятны, поэтому вероятность макроскопического состояния пропорциональна статистическому весу W. В статистическом равновесии энтропия максимальна при заданных энергии и числе частиц, что соответствует наиболее вероятному распределению (Больцмана распределению) . Для получения распределения Больцмана в явном виде нужно найти абсолютный экстремум функции SiNiln(Gi/Ni)-bSiξiNi-lSiNi (b и l - множители, определяемые из условий постоянства числа частиц газа N=SiNi и его полной энергии ξ=SiξiNi) и воспользоваться формулой Стирлинга InNi~Ni/(lnNi-1) при Ni>>1. Для среднего чисел заполнения i-го состояния с энергией ξi распределение Больцмана имеет вид:
ni=Ni/Gi=ехр[(m-ξi)/kT], (4)
где m - химический потенциал, определяемый из условия SiNi=N. Статистика Больцмана применима к разреженным молекулярным газам и к плазме в газовом разряде. Для плотных газов, когда существенно взаимодействие между частицами, следует пользоваться распределением Гиббса.