ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ. Принципами механики называют исходные положения, отражающие столь общие закономерности механических явлений, что из этих положений как следствия можно получить уравнения, определяющие движения механической системы (или условия её равновесия). В механике установлен ряд таких принципов, каждый из которых может быть положен в её основу и которые подразделяют на невариационные и вариационные. Невариационные принципы механики непосредственно устанавливают закономерности движения, совершаемого системой под действием приложенных к ней сил. К ним относится, напр., 2-й закон Ньютона, принцип Д'Аламбера. Невариационные принципы справедливы для любой механической системы и имеют сравнительно простое математическое выражение. Однако их применение ограничено только рамками механики, поскольку в выражения принципов непосредственно входит такое чисто механические понятие, как сила. Существенно также, что в большинстве задач механики рассматривается движение несвободных систем, т. е. систем, перемещения которых ограничены связями (см. Связи механические), например, всевозможные машины, механизмы, наземный транспорт, где связями являются подшипники, шарниры, тросы, полотно дороги или рельсы и т. п. Исходя из невариационных принципов при изучении движения несвободной системы эффект действия связей учитывают введением некоторых сил, называемых реакциями связей, величины которых заранее неизвестны, поскольку они зависят от того, чему равны и где приложены действующие на систему заданные (активные) силы, такие, например, как сила тяжести, упругости пружин, тяги, а также от того, как при этом движется сама система. Поэтому в составленные уравнения движения войдут дополнительные неизвестные величины - реакции связей, что обычно существенно усложняет решение этих уравнений. Преимущество вариационных принципов механики состоит в том, что из них сразу получаются уравнения движения соответствующей механической системы, не содержащие неизвестных реакций связей. Достигается это тем, что эффект действия связей учитывается не заменой их неизвестными силами (реакциями), а рассмотрением тех перемещений и движений (или приращений скоростей и ускорений), которые точки этой системы могут иметь при наличии данных связей. Например, если точка М движется по гладкой (идеальной) поверхности, являющейся для неё связью, то действие этой связи можно учесть, заменив связь заранее неизвестной по величине реакцией N, направленной в любой момент времени по нормали Mn к поверхности (поскольку по этому направлению связь не даёт перемещаться точке). Но эффект этой же связи можно учесть, установив, что для точки М в данном случае при любом её положении возможны лишь элементы перемещения, перпендикулярные к нормали Mn; такие перемещения называют возможными перемещениями. Наконец, эффект той же связи может быть охарактеризован и тем, что при этом движение точки из некоторого положения А в положение В возможно только по любой кривой АВ, лежащей на поверхности, которая является связью; такие движения называют кинематически возможными. Содержание вариационных принципов механики состоит в том, что они устанавливают свойства (признаки), позволяющие отличить истинное, т. е. фактически происходящее под действием заданных сил, движение механической системы от тех или иных кинематически возможных её движений (или же состояние равновесия системы от др. возможных её состояний). Обычно эти свойства (признаки) состоят в том, что для истинного движения некоторая физическая величина, зависящая от характеристик системы, имеет наименьшее значение по сравнению с её значениями во всех рассматриваемых кинематически возможных движениях. При этом вариационные принципы механики могут отличаться друг от друга видом указанной физической величины и особенностями рассматриваемых кинематически возможных движений, а также особенностями самих механических систем, для которых эти принципы справедливы. Использование вариационных принципов механики требует применения методов вариационного исчисления. По форме вариационные принципы механики разделяют на т. н. дифференциальные, в которых устанавливается, чем истинное движение системы отличается от кинематически возможных движений в каждый данный момент времени, и интегральные, в которых это различие устанавливается для перемещений, совершаемых системой за какой-либо конечный промежуток времени. Дифференциальные вариационные принципы механики в рамках механики являются более общими и справедливы для любых механических систем. Интегральные вариационные принципы механики в их наиболее употребительном виде справедливы только для консервативных систем. Однако в них, в отличие от дифференциальных вариационных принципов механики и невариационных принципов, вместо сил входит такая физическая величина, как энергия, что позволяет распространить эти вариационные принципы механики и на немеханические явления. К основным дифференциальным вариационным принципам механики относятся: возможных перемещений принцип, Д'Аламбера - Лагранжа принцип, Гаусса принцип (принцип наименьшего принуждения), а также тесно примыкающий к нему Герца принцип (принцип наименьшей кривизны). К интегральным вариационным принципам механики относятся т. н. принципы наименьшего (стационарного) действия, разные формы которых отличаются друг от друга выбором величины действия и особенностями сравниваемых между собой кинематически возможных движений системы (см. Наименьшего действия принцип). Применяются вариационные принципы механики как для составления в наиболее простой форме уравнений движения механических систем, так и для изучения общих свойств этих движений. При соответствующем обобщении понятий они используются также в механике сплошных сред, термодинамике, электродинамике, квантовой механике, теории относительности и др.